项目名称：半群与半环代数理论及其交叉应用研究

完成单位：渭南师范学院

完成人：余保民 屈改珠 潘丽静 朱天民 张同琦

项目简介：

本项目属于基础研究类中数学学科的基础理论及其交叉应用研究。近30余年来，由于在数学内外部的广泛应用，半群与半环代数理论在全球范围内受到高度重视和积极研究。项目组紧跟国际研究趋势，选择了半群与半环代数理论及其交叉应用研究作为研究课题。几年来，在与西北大学的赵宪钟教授，陕西师范大学的曹怀信教授、郭志华博士等专家学者合作期间，项目组把算子论的思想方法引入到半群和半环的研究中，对其中一些关键问题进行创新研究，取得如下成果：

（1）解决了带的整体决定性问题。通过在带的幂半群上引入两个重要算子，证明了带类是整体决定的；首次给出了具有强同构性质的带的具体代数结构。这一成果推广了赵宪钟等人在正规带上的工作。

（2）讨论了完全正则半群与其幂半群上 Green 关系的内在联系；研究了完全正则半群可裂子半群的一些重要性质，给出了可裂子半群的刻画。依托于这一成果，项目负责人在其博士论文中证明了完全正则半群类是整体决定性的，解决了完全正则半群是否是整体决定的这一公开问题。

（3）研究了tropical代数中的一类重要矩阵——正规矩阵。利用 Kleene *算子，引入了正规矩阵半环上的一个半环同余，证明了它也是一个双半格同余；给出了同余类的具体结构；得到了正规矩阵半环的结构定理。特别地，对强正则正规矩阵，证明了其所在的同余类是一个区间，给出了计算区间端点的快速算法。

（4）作为本项目学科交叉应用研究之一，对目前具有重要战略地位的量子信息和量子计算，考虑了绝热量子计算的数学基础。研究了量子系统可以绝热逼近的条件，得到了量子态满足绝热逼近条件的充分条件和必要条件；给出了绝热近似解误差的一个上界；证明了绝热近似解一致收敛于精确解。

（5）作为本项目交叉应用研究之二，考虑了一类具有广泛应用的KdV型方程。借助于KdV型方程的演化不变集，导出了系数函数的约束条件；通过求解约束条件，构造了方程的不变解。这一成果推广了Galaktionov关于非线性演化方程的结果。

本项目共发表论文30余篇，本次提交代表作8篇，其中SCI收录4篇，美国数学评论（MR）收录5篇，专业核心论文（CSCD）收录2篇，总被引13次。代表作发表于 ScienceChina、Commun Algebra，Semigroup Forum 等知名学术期刊。研究成果进一步丰富了半群与半环代数理论及其应用，研究工作得到了国内外同行专家的关注和高度好评。

主要知识产权目录(8篇代表作及专利、计算机软件著作权等)：